Nichtlineare Dynamik und komplexe Systeme 1
Nonlinear Dynamics and Complex Systems 1

Dieses Modul stellt grundlegende Konzepte vor, die das Entstehen von kooperativen Phänomenen ermöglichen, die für niederdimensionale nichtlineare Systeme charakteristisch sind. Die diskutierten Phänomene reichen vom bistabilen Verhalten über selbsterhaltende Oszillationen bis hin zu deterministischem Chaos. Nach einem historischen Überblick und einer Einführung in die Ideen von Nichtlinearität und Phasenraum folgt die Vorlesung einer Klassifikation dynamischer Systeme entsprechend ihrer Phasenraumdimension, d. h. Komplexität der Lösungen. Zunächst werden Stabilität und Verzweigungen von Fixpunkten in eindimensionalen Systemen diskutiert. Dann werden Oszillationen und ihr Auftreten in einem 2-dimensionalen Phasenraum untersucht. Nach einer Diskussion der Verzweigung von Grenzzyklen und der Einführung der Poincare-Schnitte und Poincare-Abbildungen wird die chaotische Dynamik untersucht. Dazu gehören die Charakterisierung chaotischer Attraktoren durch invariante Maße (verschiedene Dimensionen), Lyapunov-Exponenten, Wege zum Chaos und die Charakterisierung experimenteller, chaotischer Zeitreihen.

In der Vorlesung werden Beispiele und Anwendungen aus allen Bereichen der Naturwissenschaften diskutiert, wobei der interdisziplinäre Aspekt des Faches hervorgehoben wird. In den Übungen analysieren die Studierenden einfache nichtlineare Gleichungen, wenden die in der Vorlesung vorgestellten Techniken an und lernen moderne Software zur Analyse dynamischer Systeme kennen.

Nach der Teilnahme am Modul sind die Studierenden mit den Konzepten nichtlinearer dynamischer Systeme, den Unterschieden zu linearen Systemen und modernen Techniken zur Analyse nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen vertraut. Insbesondere sind sie in der Lage:

• den geometrischen Zugang zu dynamischen Systemen und die Konzepte von Stabilität und Bifurkationen zu erklären
• eine Phasenraumanalyse durchzuführen, indem sie dynamische Systemwerkzeuge (Programme) benutzen
• mit Hilfe einer  Software zur numerischen Kontinuation 1- und 2-dimensionale Bifurkationsanalysen eines Satzes gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichungen durchzuführen
• die verschiedenen Wege zu niedrigdimensionalem deterministischem Chaos zu erklären und chaotische Dynamiken anhand der wichtigsten invarianten Maße zu charakterisieren.

Keine Vorkenntnisse nötig, die über die Zulassungsvoraussetzungen zum Masterstudium hinausgehen.

Das Modul besteht aus einer Vorlesung und einer Übung.

In der thematisch strukturierten Vorlesung werden die Lerninhalte präsentiert, dabei werden insbesondere mit Querverweisen zwischen verschiedenen Themen die universellen Konzepte der Nichtlinearen Dynamik aufgezeigt. In wissenschaftlichen Diskussionen werden die Studierenden mit einbezogen und das eigene analytisch-physikalische Denkvermögen gefördert.

In der Übung werden anhand von Problembeispielen und state of the art Analyseprogrammen  die Lerninhalte vertieft und eingeübt, sodass die Studierenden das Gelernte selbständig erklären und anwenden können.

Tafelanschrieb, Powerpoint, Videos, Lehrbuch, ergänzende Literatur, individuelle Übungsaufgaben und Gruppenarbeit.

• St. H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos, CRC Press, (2000)
• J. Argyris, G. Faust, M. Haase & R. Friedrich: An Exploration of Dynamical Dystems and Chaos, Springer, (2015)
• J.M.T. Thompson & H.B. Stewart: Nonlinear Dynamics and Chaos, Wiley, (2002)
• E. Ott: Chaos in Dynamical Systems, 2nd ed., Cambridge University Press, (2002)
• P. Berge, Y. Pomeau & Ch. Vidal: Order within Chaos: towards a deterministic approach to turbulence, Wiley, (1986)
• J. D. Murray: Mathematical Biology I, Springer, (2007)

Es findet eine mündliche Prüfung von 30 Minuten Dauer statt. Darin wird das Erreichen der im Abschnitt Lernergebnisse dargestellten Kompetenzen mindestens in der dort angegebenen Erkenntnisstufe exemplarisch durch Verständnisfragen überprüft.

Prüfungsaufgabe könnte beispielsweise sein:

• Diskutieren Sie die qualitativen Unterschiede von Oszillationen in linearen und nichtlinearen Systemen.
• Erläutern Sie, welche Eigenschaften ein dynamisches System besitzen muss, das deterministisches Chaos aufweist.
• Was ist eine Bifurkation?

Während der Prüfung sind keine Hilfsmittel erlaubt.

Die Teilnahme am Übungsbetrieb wird dringend empfohlen, da die Übungsaufgaben auf die in der Modulprüfung abgefragten Problemstellungen vorbereiten und somit die spezifischen Kompetenzen eingeübt werden.