Theorie stochastischer Prozesse
Theory of Stochastic Processes

In dem Modul werden die Theorie der stochastischen Prozesse und die Methoden zu ihrer Analyse entwickelt. Die Praxisbeispiele für die erworbenen Methoden werden primär aus dem Bereich der Biophysik ausgewählt, die wesentlichen Lehr- und Lerninhalte (siehe unten) sind jedoch für alle Bereiche der Physik relevant.

Inhaltsverzeichnis:

• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Stochastische Prozesse
• Master-Gleichung
• Stochastische Thermodynamik
• Observablen auf Trajektorien
• Fokker-Planck Gleichung
• Langevin Gleichung
• Approximationsmethoden und Limiten

Am Ende des Moduls kennen die Studierenden die grundlegenden Methoden im Umgang mit physikalischen Systemen, die durch stochastische Prozesse beschrieben werden können, sowie die grundlegenden Annahmen, die für deren Anwendung notwendig sind. Sie sind in der Lage

1. Master-Gleichungen, stochastische Differentialgleichungen und Fokker-Planck-Gleichungen aufzustellen und zu lösen und kennen einfache Simulationsmethoden.
2. die Grundprinzipien der stochastischen Thermodynamik zu verstehen und anzuwenden.
3. Näherungsverfahren zur Analyse komplexer stochastischer Prozesse anzuwenden und anzupassen.

Es wird eine solide Basis in statistischer Physik (z.B. PH0008) erwartet.

Das Modul enthält eine Vorlesung und dazu begleitende Übungen.

In der thematisch strukturieren Vorlesung werden die theoretischen Konzepte präsentiert und diskutiert. Die Modelle zur Beschreibung der stochastischen Prozesse werden gemeinsam mit den Studierenden an der Tafel entwickelt. Konkrete physikalische Beispiele werden vertieft studiert und mit experimentellen Ergebnissen verglichen.

In den Übungen werden zusätzlich Verständnisfragen zusammen mit den Studierenden bearbeitet. Des Weiteren werden einzelne Aspekte der Vorlesung vertieft diskutiert sowie die relevanten Aspekte in regelmäßigen Abständen gemeinsam mit den Studierenden wiederholt. Fragen der Studierenden zum Thema wird ein großer Raum gegeben.

Mit den Hausaufgaben wird den Studierenden die Möglichkeit gegeben die vorgestellten Lösungsmethoden auf konkrete Problembeispiele anzuwenden und die Ergebnisse zu analysieren. Dabei werden analytische Rechenaufgaben, einfache numerische Simulationen und konzeptionelle Fragen mit Antworten in Fließtextform als Aufgabenform gewählt. Es erfolgt eine Korrektur der Lösungsvorschläge der Studierenden um diesen eine Rückmeldung zu ihren Modellierungs- und Lösungskompetenz zu gewähren sowie um Fehlkonzeptionen möglichst früh zu erkennen und zu korrigieren.

Vorlesungsskript, Übungsblätter (enthält Hausaufgaben und Verständisfragen für die Übungen), begleitende Internetseite

• Crispin Gardiner: "Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences" (Springer)
• N.G. van Kampen: "Stochastic Processes in Physics and Chemistry" (North-Holland)

Es findet eine schriftliche Klausur von 90 Minuten Dauer statt. Darin wird exemplarisch das Erreichen der im Abschnitt Lernergebnisse dargestellten Kompetenzen mindestens in der dort angegebenen Erkenntnisstufe durch Rechenaufgaben und Verständnisfragen überprüft.

Prüfungsaufgabe könnte beispielsweise sein:

• Modellierung eines konkreten Beispiels mithilfe einer Mastergleichung und Lösen der Gleichung
• Näherung einer gegebenen Mastergleichung durch eine Fokker-Planck Gleichung mithilfe der Kramers-Moyal oder Van Kampen Entwicklung, Lösung der Fokker-Planck Gleichung
• Transformation einer Langevin-Gleichung in eine korrespondierende Fokker-Planck Gleichung
• Berechnung der Entropieproduktion eines Systems das einer Mastergleichung folgt

Die Teilnahme am Übungsbetrieb wird dringend empfohlen, da die Übungsaufgaben auf die in der Modulprüfung abgefragten Problemstellungen vorbereiten und somit die spezifischen Kompetenzen eingeübt werden.

Auf die Note einer bestandenen Modulprüfung in der Prüfungsperiode direkt im Anschluss an die Vorlesung (nicht auf die Wiederholungsprüfung) wird ein Bonus (eine Zwischennotenstufe "0,3" besser) gewährt (4,3 wird nicht auf 4,0 aufgewertet), wenn die/der Studierende die Mid-Term-Leistung bestanden hat, diese besteht aus Mindestens 70% der Problemstellungen in den Hausaufgaben und der Probeklausur müssen bearbeitet werden. Eine Problemstellung gilt als bearbeitet, wenn zumindest ein Ansatz gefunden wird, der zur Lösung führt.